Ci sono alcuni limiti definiti notevoli, perchè permettono una volta definiti sviluppo di ragionamenti successivi su altre funzioni.
Data la seguente funzione $$ f: R\mapsto R \\ f = \left( 1 + \frac1x \right)^x \\ $$ Vogliamo calcolarne i limiti per $x \to +\infty$ e $x \to -\infty$ e dimostrare che questa funzione, come detto in precedenza, tende al valore $e$ $$ \lim_{x \to +\infty}f(x) = e \\ \lim_{x \to -\infty}f(x) = e \\ $$ Analizzo il dominio e il segno della parte fra parentesi $$ D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \\ g(x) = \left( 1 + \frac1x \right) = \left( \frac{x+1}{x} \right) \\ g(x) \gt 0 \rightarrow x \gt 0; x \lt -1 $$
In [36]:
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
x_less = np.linspace(-5., -1, 100, False)
x_more = np.linspace(0.0000001, 5., 100, False)
g_less = (1 + 1/x_less)
g_more = (1 + 1/x_more)
f_less = np.power(g_less, x_less)
f_more = np.power(g_more, x_more)
plt.plot(x_less, f_less)
plt.plot(x_more, f_more)
plt.axhline(math.e, color="r")
axis = plt.axis((-5., 5., 0., 10.))
Per il teorema dei due carabinieri ho costretto la mia funzione fra due funzioni (in realtà successioni) che entrambe tendono a e, quindi la mia funzione tenderà a sua volta a e
Dato che vale la seguente disuguaglianza $$ |\sin x| \le |x| $$ Posso quindi per dimostrare la continuita della funzione seno parto dalla formula di prostaferesi $$ \sin x - \sin x_0 = 2\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right) \cos \left(\frac{x+x_0}{2}\right) \\ |\sin x - \sin x_0| = 2\left| \sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right) \right| \left| \cos \left(\frac{x+x_0}{2}\right) \right| \\ |\sin x - \sin x_0| \le 2\left| \frac{x-x_0}2 \right| \\ |\sin x - \sin x_0| \le \left| x-x_0 \right|\\ \delta_\epsilon = \epsilon $$ Per dimostrare che la funzione coseno è a sua volta continua posso ricorrere alla composizione di funzioni continue e ricordare che $$ \cos x = \sin \left(x + \frac\varphi2 \right) $$ e quindi è a sua volta continua. E lo stesso vale per la tangente $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$
Vado ora a dimostrare che
$$
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}x = 1
$$
Dato che $\sin x$ è una funzione dispari come x allora la mia funzione sarà pari (Il rapporto tra due funzioni dispari è una funzione pari.
Questo mi permette di analizzare il limite solo da destra perchè essendo pari sò gia che il limite destro e sinistro, se esistono, coincidono.
$$
0 \le \sin x \le x \le \tan x \\
\frac{\sin x}{\sin x} \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{\tan x}{\sin x} \\
1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x} \to 1 \\
$$
Per il teorema dei due carabinieri la funzione $\frac{x}{\sin x}$ tende a 1 quindi anche il suo reciroco.
Se f è una funzione monotona crescente sull'insieme $A$ illimitato superiormente
$$
\lim_{x\to +\infty}f = supIf
$$
E' facilmente dimostrabile perchè ogni funzione può essere maggiorata dalla successione dove pongo per ogni x la parte intera inferiore che è gia stata dimostrata.
Lo stesso vale all'inverso per le monotone decrescenti.
Data f continua e definita su un intervallo chiuso
$$
f: [a, b] \mapsto R, f \text{ è continua}
$$
allora f è limitata.
Devo quindi dimostrare che
$$
sup f([a, b]) \in R
$$
Verrà dimostrata per assurdo quindi suppongo che f è illimitata superiormente
Creo una successione secondo la seguente regola
$$
b_n: \\
[a, b_0] = [a, b] \\
[a, b_{n+1}] = [a, b_{n}/2]
$$
In questo modo ho creato una sequenza di intervalli, tutti contenuti in $[a, b]$, sempre più piccoli e mi chied se, la mia funzione f, è limitata superiormente su tutti questi intervalli.
Posso farlo perchè la funzione, essendo continua, sarà definita su tutti i miei sotto intervalli.
Però al crescere di n, i valori con $b_m; m \lt n$ della mia successione sono maggioraneti della mia funzione.
Quindi la mia funzione è per definizione illimitata superiormente ma ammette un insieme di maggioranti.
Quindi sono giunto a una contraddizione che conferma la mia tesi originaria.
Lo stesso può essere fatto per dimostrare in caso di limitato inferiormente.